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對(duì)期權(quán)當(dāng)前價(jià)值估計(jì) 美國期權(quán)沒有分析性估值
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二叉樹。它們可以用來評(píng)估歐洲或美國的期權(quán)。Black-Scholes-Merton公式及其擴(kuò)展 在第14、16和17章中提供了對(duì)歐洲期權(quán)的分析估值。[布萊克-斯科爾斯-默頓公式基于與二項(xiàng)式樹相同的一組假設(shè)。
如第12章附錄所示，在時(shí)間步數(shù)增加的極限下，歐洲期權(quán)的二叉樹給出的價(jià)格收斂于Black-Scholes-Merton價(jià)格。美國期權(quán)沒有分析性估值。因此，二叉樹是最有用的評(píng)估這些類型的選項(xiàng)。
二叉樹估值方法涉及到將期權(quán)的生命周期劃分為大量長度為At的小時(shí)間間隔。它假設(shè)在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格從其初始值S移動(dòng)到兩個(gè)新值Su和Sd中的一個(gè)。這種方法如圖20.1所示。在參數(shù)p, u，和d必須給出在長度為At的時(shí)間間隔內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格變化的平均值和方差的正確值。
因?yàn)槲覀兪窃谝粋�(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中工作，資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)是無風(fēng)險(xiǎn)利率r。假設(shè)該資產(chǎn)的收益率為q。資本收益形式的預(yù)期回報(bào)必須是r - q。這意味著在長度為at的時(shí)間區(qū)間結(jié)束時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期值必須是Se^r~q) at，其中S是時(shí)間區(qū)間開始時(shí)的資產(chǎn)價(jià)格。
時(shí)間T和K為執(zhí)行價(jià)格。因?yàn)榧僭O(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的，所以每個(gè)節(jié)點(diǎn)在T - at時(shí)刻的值可以計(jì)算為時(shí)刻T的期望值，以r的利率折現(xiàn)，在時(shí)間段Af。同樣，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在T - 2At時(shí)刻的值可以計(jì)算為時(shí)刻T - at的期望值，以r的利率折現(xiàn)，依此類推。
如果期權(quán)為美式期權(quán)，則需要在每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行檢查，以確定早期鍛煉是否比繼續(xù)持有期權(quán)更可取。最終，通過回溯所有節(jié)點(diǎn)，我們能夠獲得期權(quán)在時(shí)間為0時(shí)的值。
因此，不應(yīng)該在此節(jié)點(diǎn)執(zhí)行該選項(xiàng)，該節(jié)點(diǎn)的正確選項(xiàng)值為$10.36。
返回到樹中，初始節(jié)點(diǎn)的選項(xiàng)值為$4.49。這是我們對(duì)期權(quán)當(dāng)前價(jià)值的數(shù)值估計(jì)。在實(shí)踐中，將使用更小的At值和更多的節(jié)點(diǎn)。deriagem顯示，對(duì)于30、50、100和500個(gè)時(shí)間步，我們可以得到選項(xiàng)4.263、4.272、4.278和4.283的值。
如第12章附錄所示，在時(shí)間步數(shù)增加的極限下，歐洲期權(quán)的二叉樹給出的價(jià)格收斂于Black-Scholes-Merton價(jià)格。美國期權(quán)沒有分析性估值。因此，二叉樹是最有用的評(píng)估這些類型的選項(xiàng)。
二叉樹估值方法涉及到將期權(quán)的生命周期劃分為大量長度為At的小時(shí)間間隔。它假設(shè)在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格從其初始值S移動(dòng)到兩個(gè)新值Su和Sd中的一個(gè)。這種方法如圖20.1所示。在參數(shù)p, u，和d必須給出在長度為At的時(shí)間間隔內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格變化的平均值和方差的正確值。
因?yàn)槲覀兪窃谝粋�(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中工作，資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)是無風(fēng)險(xiǎn)利率r。假設(shè)該資產(chǎn)的收益率為q。資本收益形式的預(yù)期回報(bào)必須是r - q。這意味著在長度為at的時(shí)間區(qū)間結(jié)束時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期值必須是Se^r~q) at，其中S是時(shí)間區(qū)間開始時(shí)的資產(chǎn)價(jià)格。
時(shí)間T和K為執(zhí)行價(jià)格。因?yàn)榧僭O(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的，所以每個(gè)節(jié)點(diǎn)在T - at時(shí)刻的值可以計(jì)算為時(shí)刻T的期望值，以r的利率折現(xiàn)，在時(shí)間段Af。同樣，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在T - 2At時(shí)刻的值可以計(jì)算為時(shí)刻T - at的期望值，以r的利率折現(xiàn)，依此類推。
如果期權(quán)為美式期權(quán)，則需要在每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行檢查，以確定早期鍛煉是否比繼續(xù)持有期權(quán)更可取。最終，通過回溯所有節(jié)點(diǎn)，我們能夠獲得期權(quán)在時(shí)間為0時(shí)的值。
因此，不應(yīng)該在此節(jié)點(diǎn)執(zhí)行該選項(xiàng)，該節(jié)點(diǎn)的正確選項(xiàng)值為$10.36。
返回到樹中，初始節(jié)點(diǎn)的選項(xiàng)值為$4.49。這是我們對(duì)期權(quán)當(dāng)前價(jià)值的數(shù)值估計(jì)。在實(shí)踐中，將使用更小的At值和更多的節(jié)點(diǎn)。deriagem顯示，對(duì)于30、50、100和500個(gè)時(shí)間步，我們可以得到選項(xiàng)4.263、4.272、4.278和4.283的值。
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