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計(jì)算一種帶有行權(quán)價(jià)的超價(jià)歐洲看漲期權(quán)的價(jià)格
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期權(quán)假設(shè)波動(dòng)率恒定。
重要性抽樣
重要性抽樣最好用一個(gè)例子來(lái)解釋。假設(shè)我們希望計(jì)算一種帶有行權(quán)價(jià)的超價(jià)歐洲看漲期權(quán)的價(jià)格
K和期限T。如果我們以通常的方式對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T的價(jià)格進(jìn)行抽樣，大多數(shù)路徑將導(dǎo)致零收益。這是一種計(jì)算時(shí)間的浪費(fèi)，因?yàn)榱闶找媛窂綄?duì)期權(quán)價(jià)值的確定貢獻(xiàn)很小。因此，我們盡量只選擇重要路徑，也就是到期時(shí)股票價(jià)格高于K的路徑。
假設(shè)F是T和q時(shí)刻股票價(jià)格的無(wú)條件概率分布函數(shù)，通過(guò)解析可知股票價(jià)格在到期日大于K的概率。那么G = f是股價(jià)大于k的情況下股價(jià)的概率分布。為了實(shí)現(xiàn)重要抽樣，我們從G而不是f抽樣。期權(quán)價(jià)值的估計(jì)是平均折現(xiàn)收益乘以q。
分層抽樣
從概率分布 抽樣代表值而不是隨機(jī)值通常會(huì)給出更準(zhǔn)確的結(jié)果。分層抽樣就是一種方法。假設(shè)我們希望從一個(gè)概率分布中取1000個(gè)樣本。我們將分布分成1000個(gè)等可能區(qū)間，并為每個(gè)區(qū)間選擇一個(gè)代表值(通常是平均值或中位數(shù))。
在有n個(gè)區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布情況下，我們可以計(jì)算第z個(gè)區(qū)間的代表值為
其中N~x為逆累積正態(tài)分布。例如，當(dāng)n = 4時(shí)，四個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的代表值為2*(0.125)，A^_1(0.375)， 2一1(0.625)，n ~i(0.875)。函數(shù)N_’可以使用Excel中的NORMSINV函數(shù)計(jì)算。
矩匹配
矩匹配涉及調(diào)整從標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布中提取的樣本，以便匹配第一、第二和可能更高的矩。假設(shè)我們從一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布中抽樣來(lái)計(jì)算特定變量在特定時(shí)間段內(nèi)的值變化。假設(shè)樣本是§(1 W i W”)•為了匹配前兩個(gè)時(shí)刻，我們計(jì)算樣本的均值，m，和樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差，s。
這些調(diào)整后的樣本的正確平均值為0，正確標(biāo)準(zhǔn)差為1.0。我們使用調(diào)整后的樣本進(jìn)行所有計(jì)算。
矩匹配節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，但可能會(huì)導(dǎo)致內(nèi)存問(wèn)題，因?yàn)椴蓸拥拿總�(gè)數(shù)字必須存儲(chǔ)到模擬結(jié)束。矩匹配有時(shí)被稱為二次重采樣。它經(jīng)常與對(duì)偶變量技術(shù)結(jié)合使用。因?yàn)楹笳邥?huì)自動(dòng)匹配所有奇數(shù)矩，所以矩匹配的目標(biāo)就變成了匹配第二個(gè)矩，可能還有第四個(gè)矩。
使用擬隨機(jī)序列
準(zhǔn)隨機(jī)序列(也稱為低差異序列)是一個(gè)概率分布中具有代表性的樣本序列。準(zhǔn)隨機(jī)這個(gè)詞是用詞不當(dāng)。準(zhǔn)隨機(jī)序列是完全確定的。
準(zhǔn)隨機(jī)抽樣類似于分層抽樣。我們的目標(biāo)是對(duì)底層變量的代表性值進(jìn)行抽樣。在分層抽樣中，假設(shè)我們事先知道將抽取多少樣本。準(zhǔn)隨機(jī)抽樣方法更為靈活。采樣的方式使我們總是在現(xiàn)有樣本之間4’填充’空白。在模擬的每個(gè)階段，采樣點(diǎn)在概率空間中大致均勻分布。
圖20.14顯示了使用Sobol’.22建議的程序在二維中生成的點(diǎn)可以看到，連續(xù)的點(diǎn)確實(shí)傾向于填補(bǔ)前點(diǎn)留下的空白。
重要性抽樣
重要性抽樣最好用一個(gè)例子來(lái)解釋。假設(shè)我們希望計(jì)算一種帶有行權(quán)價(jià)的超價(jià)歐洲看漲期權(quán)的價(jià)格
K和期限T。如果我們以通常的方式對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T的價(jià)格進(jìn)行抽樣，大多數(shù)路徑將導(dǎo)致零收益。這是一種計(jì)算時(shí)間的浪費(fèi)，因?yàn)榱闶找媛窂綄?duì)期權(quán)價(jià)值的確定貢獻(xiàn)很小。因此，我們盡量只選擇重要路徑，也就是到期時(shí)股票價(jià)格高于K的路徑。
假設(shè)F是T和q時(shí)刻股票價(jià)格的無(wú)條件概率分布函數(shù)，通過(guò)解析可知股票價(jià)格在到期日大于K的概率。那么G = f是股價(jià)大于k的情況下股價(jià)的概率分布。為了實(shí)現(xiàn)重要抽樣，我們從G而不是f抽樣。期權(quán)價(jià)值的估計(jì)是平均折現(xiàn)收益乘以q。
分層抽樣
從概率分布 抽樣代表值而不是隨機(jī)值通常會(huì)給出更準(zhǔn)確的結(jié)果。分層抽樣就是一種方法。假設(shè)我們希望從一個(gè)概率分布中取1000個(gè)樣本。我們將分布分成1000個(gè)等可能區(qū)間，并為每個(gè)區(qū)間選擇一個(gè)代表值(通常是平均值或中位數(shù))。
在有n個(gè)區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布情況下，我們可以計(jì)算第z個(gè)區(qū)間的代表值為
其中N~x為逆累積正態(tài)分布。例如，當(dāng)n = 4時(shí)，四個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的代表值為2*(0.125)，A^_1(0.375)， 2一1(0.625)，n ~i(0.875)。函數(shù)N_’可以使用Excel中的NORMSINV函數(shù)計(jì)算。
矩匹配
矩匹配涉及調(diào)整從標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布中提取的樣本，以便匹配第一、第二和可能更高的矩。假設(shè)我們從一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布中抽樣來(lái)計(jì)算特定變量在特定時(shí)間段內(nèi)的值變化。假設(shè)樣本是§(1 W i W”)•為了匹配前兩個(gè)時(shí)刻，我們計(jì)算樣本的均值，m，和樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差，s。
這些調(diào)整后的樣本的正確平均值為0，正確標(biāo)準(zhǔn)差為1.0。我們使用調(diào)整后的樣本進(jìn)行所有計(jì)算。
矩匹配節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，但可能會(huì)導(dǎo)致內(nèi)存問(wèn)題，因?yàn)椴蓸拥拿總�(gè)數(shù)字必須存儲(chǔ)到模擬結(jié)束。矩匹配有時(shí)被稱為二次重采樣。它經(jīng)常與對(duì)偶變量技術(shù)結(jié)合使用。因?yàn)楹笳邥?huì)自動(dòng)匹配所有奇數(shù)矩，所以矩匹配的目標(biāo)就變成了匹配第二個(gè)矩，可能還有第四個(gè)矩。
使用擬隨機(jī)序列
準(zhǔn)隨機(jī)序列(也稱為低差異序列)是一個(gè)概率分布中具有代表性的樣本序列。準(zhǔn)隨機(jī)這個(gè)詞是用詞不當(dāng)。準(zhǔn)隨機(jī)序列是完全確定的。
準(zhǔn)隨機(jī)抽樣類似于分層抽樣。我們的目標(biāo)是對(duì)底層變量的代表性值進(jìn)行抽樣。在分層抽樣中，假設(shè)我們事先知道將抽取多少樣本。準(zhǔn)隨機(jī)抽樣方法更為靈活。采樣的方式使我們總是在現(xiàn)有樣本之間4’填充’空白。在模擬的每個(gè)階段，采樣點(diǎn)在概率空間中大致均勻分布。
圖20.14顯示了使用Sobol’.22建議的程序在二維中生成的點(diǎn)可以看到，連續(xù)的點(diǎn)確實(shí)傾向于填補(bǔ)前點(diǎn)留下的空白。
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