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為什么看漲期權和看跌期權的波動率微笑一樣
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期權的市場價格與布萊克-斯科爾斯-默頓模型預測的價格有多接近?交易員在確定期權價格 時，真的使用布萊克-斯科爾斯-默頓模型嗎?資產價格的概率分布真的是 正態嗎?本章回答了這些問題。它解釋了交易員確實會使用布萊克-斯科爾斯-默頓模型——但不是完全按照布萊克、斯科爾斯和默頓最初的意圖。這是因為它們允許用于定價期權的波動性取決于其行權價格和到期日。
一種期權的隱含波動率曲線以其執行價格為一個函數，這種曲線被稱為波動率微笑。本章描述了交易者在股票和外匯市場使用的波動微笑。它解釋了波動率微笑和未來資產價格假設的風險中性概率分布之間的關系。它還討論了期權交易員如何使用波動率表面作為定價工具。
19.1為什么看漲期權和看跌期權的波動率微笑是一樣的
本節表明，當歐洲看漲期權具有相同的行權價格且到期日為4時，其隱含波動率與歐洲看跌期權相同。這意味著，特定期限的歐洲看漲期權與相同期限的歐洲看跌期權的波動幅度是相同的。這是一個特別方便的結果。它表明，當談論波動率微笑時，我們不必擔心期權是看漲期權還是看跌期權。
如前幾章所述，當歐洲看漲期權和看跌期權的執行價格和到期日相同時，看漲期權和看跌期權的價格之間存在平價關系。
和往常一樣，c和p是歐洲的看漲和看跌價格。它們有相同的行權價K和到期日T。變量S°是標的資產今天的價格，r是T期限的無風險利率，q是資產的收益率。
買賣權平價關系的一個關鍵特征是，它基于一個相對簡單的無套利論證。它不需要任何關于概率的假設
未來資產價格的分布。無論資產價格分布是對數正態還是非對數正態，它都是成立的。
假設，對于波動率的某個特定值，pBS和cBS是使用布萊克-斯科爾斯-默頓模型計算的歐洲看跌期權和看漲期權的價值。進一步假設pmkt和cmkt是這些期權的市場價值。因為在布萊克-斯科爾斯-默頓模型中，看跌期權平價是成立的，我們必須在沒有套利機會的情況下，買賣權平價對市場價格也成立，因此
我們得到PBS - Pmkt = CBS - cmkt (192)
這表明，用Black-Scholes-Merton模型為歐洲看跌期權定價時的美元定價誤差應該與用相同行權價格和到期時間為歐洲看漲期權定價時的美元定價誤差完全相同。
假設看跌期權的隱含波動率為22%，這意味著在Black-Scholes-Merton模型中，當波動率為22%時，Pbs = Pmkt。由式(19.2)可知，使用該波動率時，cBS = cmkt。因此，買入期權的隱含波動率也是22%。這一論證表明，當兩者具有相同的行權價和到期日時，歐洲看漲期權的隱含波動率與歐洲看跌期權的隱含波動率總是相同的。
換句話說，對于給定的行權價格和到期日，與布萊克-斯科爾斯-默頓模型(Black-Scholes-Merton model)一起用于為歐洲看漲期權定價的正確波動率，應該始終與用于為歐洲看跌期權定價的波動率相同。
這意味著，對于歐洲看漲期權和歐洲看跌期權，波動率微笑(即某一特定期限的隱含波動率和行權價格之間的關系)是相同的。這也意味著，對于歐洲看漲期權和歐洲看跌期權，波動率期限結構(即，隱含波動率和特定執行權期限之間的關系)是相同的。
一種期權的隱含波動率曲線以其執行價格為一個函數，這種曲線被稱為波動率微笑。本章描述了交易者在股票和外匯市場使用的波動微笑。它解釋了波動率微笑和未來資產價格假設的風險中性概率分布之間的關系。它還討論了期權交易員如何使用波動率表面作為定價工具。
19.1為什么看漲期權和看跌期權的波動率微笑是一樣的
本節表明，當歐洲看漲期權具有相同的行權價格且到期日為4時，其隱含波動率與歐洲看跌期權相同。這意味著，特定期限的歐洲看漲期權與相同期限的歐洲看跌期權的波動幅度是相同的。這是一個特別方便的結果。它表明，當談論波動率微笑時，我們不必擔心期權是看漲期權還是看跌期權。
如前幾章所述，當歐洲看漲期權和看跌期權的執行價格和到期日相同時，看漲期權和看跌期權的價格之間存在平價關系。
和往常一樣，c和p是歐洲的看漲和看跌價格。它們有相同的行權價K和到期日T。變量S°是標的資產今天的價格，r是T期限的無風險利率，q是資產的收益率。
買賣權平價關系的一個關鍵特征是，它基于一個相對簡單的無套利論證。它不需要任何關于概率的假設
未來資產價格的分布。無論資產價格分布是對數正態還是非對數正態，它都是成立的。
假設，對于波動率的某個特定值，pBS和cBS是使用布萊克-斯科爾斯-默頓模型計算的歐洲看跌期權和看漲期權的價值。進一步假設pmkt和cmkt是這些期權的市場價值。因為在布萊克-斯科爾斯-默頓模型中，看跌期權平價是成立的，我們必須在沒有套利機會的情況下，買賣權平價對市場價格也成立，因此
我們得到PBS - Pmkt = CBS - cmkt (192)
這表明，用Black-Scholes-Merton模型為歐洲看跌期權定價時的美元定價誤差應該與用相同行權價格和到期時間為歐洲看漲期權定價時的美元定價誤差完全相同。
假設看跌期權的隱含波動率為22%，這意味著在Black-Scholes-Merton模型中，當波動率為22%時，Pbs = Pmkt。由式(19.2)可知，使用該波動率時，cBS = cmkt。因此，買入期權的隱含波動率也是22%。這一論證表明，當兩者具有相同的行權價和到期日時，歐洲看漲期權的隱含波動率與歐洲看跌期權的隱含波動率總是相同的。
換句話說，對于給定的行權價格和到期日，與布萊克-斯科爾斯-默頓模型(Black-Scholes-Merton model)一起用于為歐洲看漲期權定價的正確波動率，應該始終與用于為歐洲看跌期權定價的波動率相同。
這意味著，對于歐洲看漲期權和歐洲看跌期權，波動率微笑(即某一特定期限的隱含波動率和行權價格之間的關系)是相同的。這也意味著，對于歐洲看漲期權和歐洲看跌期權，波動率期限結構(即，隱含波動率和特定執行權期限之間的關系)是相同的。
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